EJERCICIOS DE DERIVADAS ALGEBRAICAS

INSTRUCCIONES: RESUELVA LAS SIGUIENTES DERIVADAS. ESCRIBA EL PROCEDIMIENTO NECESARIO, FORMULAS USADAS Y NO OLVIDE REDUCIR Y AGRUPAR TERMINOS SEMEJANTES.

DERIVADAS POR FORMULA

INTRODUCCION

La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.
Existen algunas formulas para resolver la derivada de una función algunos ejemplos  de formulas son las siguientes:

A continuación se mostraran algunos ejemplos de derivadas resueltas por formulas:

Más ejemplos:

EJERCICIOS:
-RESUELVA LAS SIGUIENTES DERIVADAS, NO OLVIDE ESCRIBIR SU PROCEDIMIENTO Y AGRUPAR TERMINOS SEMEJANTES.

DERIVADAS POR 4 PASOS

INTRODUCCION

DEFINICIÓN:

La derivada de una función se define como el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando tiende a cero. 

De forma mas simple podemos decir que la derivada es cuanto cambia una función cuando se incrementa el valor de la variable dependiente y también el de la independiente y estos dos se dividen.

A continuación una demostración de que la derivada es un limite. Supongamos que tenemos Y=x^2 y que nosotros queremos encontrar el valor de la derivada cuando la variable independiente (x) es 4.

 En la imagen anterior podemos observar que mientras mas se acerca a cero el incremento de la variable independiente, el resultado de dividir los dos incrementos (dependiente entre independiente) es 8, por lo tanto el valor de la derivada es 8.

DERIVACION POR 4 PASOS.

Para encontrar la derivada de una función se utiliza la Regla General para la Derivación que consta de cuatro pasos:

Primer paso.- Se sustituye en la función “X” por (X + ΔX), y “Y” por (Y + ΔY).

Segundo paso.- Se resta a la nueva función el valor de la función original, obteniendo únicamente Δy ( incremento de la función ).

Tercer paso.- Se divide la nueva ecuación Δy (incremento de la función ) entre Δx ( incremento de la variable independiente).

Cuarto paso.- Se calcula el límite cuando Δx (incremento de la variable independiente ) tiende a cero.

EJEMPLOS:

Ejemplo :  Y = x³ + 2x² – 3x – 1

Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento Delta (∆) representado por un triangulo a cada variable.

Y + ∆y = (x + ∆x)³ + 2(x + ∆x)² – 3(x + ∆x) – 1

Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original. Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado.

Y + ∆y = (x + ∆x)³ + 2(x + ∆x)² – 3(x + ∆x) – 1

Y + ∆y = (x³ + 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³) + 2(x² + 2x∆x + ∆x²) – 3x – 3∆x – 1

Y + ∆y = x³ + 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³ + 2x² + 4x∆x + 2∆x² – 3x – 3∆x – 1

∆y = 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³ + 4x∆x + 2∆x² – 3∆x

Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)

∆y/∆x = 3x² + 3x∆x + ∆x² + 4x + 2∆x – 3

Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable multiplicada por 0 da 0)

∆y/∆x = 3x² + 3x[0] + [0]² + 4x + 2[0] – 3

∆y/∆x = 3x² + 4x – 3

Este es el resultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos para derivar una ecuación.

EJERCICIOS:
RESUELVA POR EL METODO DE 4 PASOS LAS SIGUIENTES DERIVADAS:
a) y=x+5
b) y=2x+x^2
c) y= -x+10x^2
d) y= 8x+10x^2+x^3
e) y= x+x^2+x^3
f) y= x^3-10
g) y= 4x^3+5x^2
h) y= 2x+6x^2-8x^3-2
i) y= -x-x^2-x^3
j) y= 8x+10x^3
k) y= -10x^3-x^2
l) y= 2x+x^3
m) y=-8-100x^3
n) y= 40x^2+3x^3
o) y= 100x^3+2x-x^2
p) y= 18x^3+2x^2
q) y= 3x+3x^2+3x^3
r) y= -5x-5x^3
s) y= -3x^3+x^3+2x^2
t) y= x+8x^2+5x^2+x^3+6x^3
u) y= x^3+10x^2-2x
v) y=-8x(2+3x)
w) y= 6x+10(x+x^2)
x) y= -x^3-x^2
y) y= 8x^2+100x

LIMITES DE UNA FUNCION. (ACERCAMIENTO INTUITIVO)

DEFINICION.

El vocablo que nos ocupa en primer lugar, límite, podemos decir que se trata de una palabra que procede, etimológicamente hablando, del latín. En concreto, emana del sustantivo “limes”, que puede traducirse como “frontera o borde”.

Para la matemática, un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.

La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos. El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

RESOLVIENDO LIMITES.

     Para resolver un limite, bastara solo con sustituir en la función que nos dan el valor correspondiente al cual tiende la variable "x". A continuación algunos ejemplos:

EJERCICIOS:

-Resuelva cada uno de los siguientes limites. No olvide anotar su procedimiento.

a) lim (2x+3-x)/8(2-x) cuando x tiende a 1

b) lim (100x+3)/(2x+5) cuando x tiende a 20

c) lim (10x+5(x+3))/(8x+4) cuando x tiende a 4

d) lim (2x+10)/(x+5)2 cuando x tiende a 1

e) lim (2x+5+8(x+11))/13(x+1)+40 cuando x tiende a 20

f) lim (2x+100)/2(x+20) cuando x tiende a 5