DEFINICIÓN:
La derivada de una función se define como el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando tiende a cero.
De forma mas simple podemos decir que la derivada es cuanto cambia una función cuando se incrementa el valor de la variable dependiente y también el de la independiente y estos dos se dividen.
A continuación una demostración de que la derivada es un limite. Supongamos que tenemos Y=x^2 y que nosotros queremos encontrar el valor de la derivada cuando la variable independiente (x) es 4.
En la imagen anterior podemos observar que mientras mas se acerca a cero el incremento de la variable independiente, el resultado de dividir los dos incrementos (dependiente entre independiente) es 8, por lo tanto el valor de la derivada es 8.
DERIVACION POR 4 PASOS.
Para encontrar la derivada de una función se utiliza la Regla General para la Derivación que consta de cuatro pasos:
Primer paso.- Se sustituye en la función “X” por (X + ΔX), y “Y” por (Y + ΔY).
Segundo paso.- Se resta a la nueva función el valor de la función original, obteniendo únicamente Δy ( incremento de la función ).
Tercer paso.- Se divide la nueva ecuación Δy (incremento de la función ) entre Δx ( incremento de la variable independiente).
Cuarto paso.- Se calcula el límite cuando Δx (incremento de la variable independiente ) tiende a cero.
Primer paso.- Se sustituye en la función “X” por (X + ΔX), y “Y” por (Y + ΔY).
Segundo paso.- Se resta a la nueva función el valor de la función original, obteniendo únicamente Δy ( incremento de la función ).
Tercer paso.- Se divide la nueva ecuación Δy (incremento de la función ) entre Δx ( incremento de la variable independiente).
Cuarto paso.- Se calcula el límite cuando Δx (incremento de la variable independiente ) tiende a cero.
EJEMPLOS:
Ejemplo : Y = x3 + 2x2 – 3x – 1
Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento Delta (∆) representado por un triangulo a cada variable.
Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1
Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original. Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado.
Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1
Y + ∆y = (x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3) + 2(x2 + 2x∆x + ∆x2) – 3x – 3∆x – 1
Y + ∆y = x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 2x2 + 4x∆x + 2∆x2 – 3x – 3∆x – 1
∆y = 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 4x∆x + 2∆x2 – 3∆x
Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)
∆y/∆x = 3x2 + 3x∆x + ∆x2 + 4x + 2∆x – 3
Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable multiplicada por 0 da 0)
∆y/∆x = 3x2 + 3x[0] + [0]2 + 4x + 2[0] – 3
∆y/∆x = 3x2 + 4x – 3
Este es el resultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos para derivar una ecuación.
EJERCICIOS:
RESUELVA POR EL METODO DE 4 PASOS LAS SIGUIENTES DERIVADAS:
a) y=x+5
b) y=2x+x^2
c) y= -x+10x^2
d) y= 8x+10x^2+x^3
e) y= x+x^2+x^3
f) y= x^3-10
g) y= 4x^3+5x^2
h) y= 2x+6x^2-8x^3-2
i) y= -x-x^2-x^3
j) y= 8x+10x^3
k) y= -10x^3-x^2
l) y= 2x+x^3
m) y=-8-100x^3
n) y= 40x^2+3x^3
o) y= 100x^3+2x-x^2
p) y= 18x^3+2x^2
q) y= 3x+3x^2+3x^3
r) y= -5x-5x^3
s) y= -3x^3+x^3+2x^2
t) y= x+8x^2+5x^2+x^3+6x^3
u) y= x^3+10x^2-2x
v) y=-8x(2+3x)
w) y= 6x+10(x+x^2)
x) y= -x^3-x^2
y) y= 8x^2+100x
