EJEMPLOS DE INTEGRALES

FORMULARIO DE INTEGRALES

INTEGRALES

EJEMPLOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA

A CONTINUACION ALGUNOS EJEMPLOS DE LA APLICACION DE LAS DERIVADAS:

EJERCICIOS DE DERIVADAS ALGEBRAICAS

INSTRUCCIONES: RESUELVA LAS SIGUIENTES DERIVADAS. ESCRIBA EL PROCEDIMIENTO NECESARIO, FORMULAS USADAS Y NO OLVIDE REDUCIR Y AGRUPAR TERMINOS SEMEJANTES.

DERIVADAS POR FORMULA

INTRODUCCION

La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.
Existen algunas formulas para resolver la derivada de una función algunos ejemplos  de formulas son las siguientes:

A continuación se mostraran algunos ejemplos de derivadas resueltas por formulas:

Más ejemplos:

EJERCICIOS:
-RESUELVA LAS SIGUIENTES DERIVADAS, NO OLVIDE ESCRIBIR SU PROCEDIMIENTO Y AGRUPAR TERMINOS SEMEJANTES.

DERIVADAS POR 4 PASOS

INTRODUCCION

DEFINICIÓN:

La derivada de una función se define como el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando tiende a cero. 

De forma mas simple podemos decir que la derivada es cuanto cambia una función cuando se incrementa el valor de la variable dependiente y también el de la independiente y estos dos se dividen.

A continuación una demostración de que la derivada es un limite. Supongamos que tenemos Y=x^2 y que nosotros queremos encontrar el valor de la derivada cuando la variable independiente (x) es 4.

 En la imagen anterior podemos observar que mientras mas se acerca a cero el incremento de la variable independiente, el resultado de dividir los dos incrementos (dependiente entre independiente) es 8, por lo tanto el valor de la derivada es 8.

DERIVACION POR 4 PASOS.

Para encontrar la derivada de una función se utiliza la Regla General para la Derivación que consta de cuatro pasos:

Primer paso.- Se sustituye en la función “X” por (X + ΔX), y “Y” por (Y + ΔY).

Segundo paso.- Se resta a la nueva función el valor de la función original, obteniendo únicamente Δy ( incremento de la función ).

Tercer paso.- Se divide la nueva ecuación Δy (incremento de la función ) entre Δx ( incremento de la variable independiente).

Cuarto paso.- Se calcula el límite cuando Δx (incremento de la variable independiente ) tiende a cero.

EJEMPLOS:

Ejemplo :  Y = x³ + 2x² – 3x – 1

Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento Delta (∆) representado por un triangulo a cada variable.

Y + ∆y = (x + ∆x)³ + 2(x + ∆x)² – 3(x + ∆x) – 1

Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original. Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado.

Y + ∆y = (x + ∆x)³ + 2(x + ∆x)² – 3(x + ∆x) – 1

Y + ∆y = (x³ + 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³) + 2(x² + 2x∆x + ∆x²) – 3x – 3∆x – 1

Y + ∆y = x³ + 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³ + 2x² + 4x∆x + 2∆x² – 3x – 3∆x – 1

∆y = 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³ + 4x∆x + 2∆x² – 3∆x

Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)

∆y/∆x = 3x² + 3x∆x + ∆x² + 4x + 2∆x – 3

Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable multiplicada por 0 da 0)

∆y/∆x = 3x² + 3x[0] + [0]² + 4x + 2[0] – 3

∆y/∆x = 3x² + 4x – 3

Este es el resultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos para derivar una ecuación.

EJERCICIOS:
RESUELVA POR EL METODO DE 4 PASOS LAS SIGUIENTES DERIVADAS:
a) y=x+5
b) y=2x+x^2
c) y= -x+10x^2
d) y= 8x+10x^2+x^3
e) y= x+x^2+x^3
f) y= x^3-10
g) y= 4x^3+5x^2
h) y= 2x+6x^2-8x^3-2
i) y= -x-x^2-x^3
j) y= 8x+10x^3
k) y= -10x^3-x^2
l) y= 2x+x^3
m) y=-8-100x^3
n) y= 40x^2+3x^3
o) y= 100x^3+2x-x^2
p) y= 18x^3+2x^2
q) y= 3x+3x^2+3x^3
r) y= -5x-5x^3
s) y= -3x^3+x^3+2x^2
t) y= x+8x^2+5x^2+x^3+6x^3
u) y= x^3+10x^2-2x
v) y=-8x(2+3x)
w) y= 6x+10(x+x^2)
x) y= -x^3-x^2
y) y= 8x^2+100x

LIMITES DE UNA FUNCION. (ACERCAMIENTO INTUITIVO)

DEFINICION.

El vocablo que nos ocupa en primer lugar, límite, podemos decir que se trata de una palabra que procede, etimológicamente hablando, del latín. En concreto, emana del sustantivo “limes”, que puede traducirse como “frontera o borde”.

Para la matemática, un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de una secuencia infinita de magnitudes.

La expresión límite de una función se utiliza en el cálculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: si una función f tiene un límite X en un punto t, quiere decir que el valor de f puede ser todo lo cercano a X que se desee, con puntos suficientemente cercanos a t, pero distintos. El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

RESOLVIENDO LIMITES.

     Para resolver un limite, bastara solo con sustituir en la función que nos dan el valor correspondiente al cual tiende la variable "x". A continuación algunos ejemplos:

EJERCICIOS:

-Resuelva cada uno de los siguientes limites. No olvide anotar su procedimiento.

a) lim (2x+3-x)/8(2-x) cuando x tiende a 1

b) lim (100x+3)/(2x+5) cuando x tiende a 20

c) lim (10x+5(x+3))/(8x+4) cuando x tiende a 4

d) lim (2x+10)/(x+5)2 cuando x tiende a 1

e) lim (2x+5+8(x+11))/13(x+1)+40 cuando x tiende a 20

f) lim (2x+100)/2(x+20) cuando x tiende a 5

DESIGUALDADES

DESIGUALDADES.

El conocimiento de intervalos es necesario para comprender las desigualdades debido a que la solución a una desigualdad matemática es un intervalo para el cual se cumple que una condición establecida. Las desigualdades son una relación de orden que se da entre dos o mas valores cuando estos son distintos. En ellas utilizamos los signos mayor que (>), menor que (<), mayor o igual que (≥) y el signo menor o igual que (≤). A continuación presento un cuadro que ilustra algunos ejemplos de desigualdad, en ellos podremos apreciar que las desigualdes cuentan con al menos dos miembros (uno de cada lado del signo) y  un signo que indica que un miembro es diferente de otro (también llamado “sentido de la desigualdad”):

Algo importante de las desigualdades es que tienen muchas posibles soluciones. Por ejemplo, “18≥que la mayoría de edad en Mexico” es una declaración valida para que cualquier persona que tenga al menos 18 años cumplidos sea considerada mayor de edad en este país, es decir, si tengo 19, 54 o 99 años sere considerado una persona mayor de edad dentro del territorio nacional.

          Debe notarse también que la desigualdad x>y también puede escribirse como y<x. los lados de cualquier desigualdad pueden cambiar de lugar siempre y cuando el símbolo de la desigualdad también cambie.

          Como se menciono de manera anterior, las desigualdades pueden representarse en una recta numérica. A continuacion se muestran algunos ejemplos de ello:

Al igual que sucede con cualquier ecuación, existen propiedades para resolver desigualdades, algunas de estas propiedades son las siguientes:

v  Si  se le suma o se le resta cualquier numero a ambos miembros de la desigualdad, resultara otra con el mismo sentido.

Ejemplo:

Si a>b, entonces a+c>b+c

Si la edad de Victor es mayor que la edad de Cinthia, entonces es lógico que aunque transcurran unos años mas, Victor seguirá siendo mayor que Cinthia.

Si a<b, entonces a-c<b-c

Si la edad de Cinthia es menor que la edad de Victor, entonces es lógico afirmar que hace algún intervalo de tiempo, Cinthia era menor que Victor, es decir, las edades cambian, pero Cinthia siempre será menor que Victor.

v  Si se multiplica o se divide ambos miembros de una desigualdad por un numero positivo, resultara otra con el mismo sentido.

Ejemplo:

Si a>b, entonces a.c>b.c

Si un autobús pesa mas que un auto compacto, se cumplirá que aunque se duplique el numero de autos compactos si también se duplica el numero de autobuses, entonces los autobuses seguirán pesando màs.

Si a<b, entonces a/c<b/c.

Si 10<20, entonces resulta que 10/2<20/2 debido a que el resultado será 5<10.

v  SI se multiplica o se divide ambos miembros de una desigualdad entre un numero negativo, resultara otra con sentido inverso.

Ejemplo:

Si a<b, entonces a/c<b/c siempre y cuando c<0.

Si 5<10, entonces 5(-2)>10(-2), debido a que el resultado será -10>-20

RESOLVIENDO DESIGUALDADES.

          Las propiedades antes vistas serán de utilidad a la hora de la resolución de las desigualdes, empezemos. Algo importante de mencionar es que los alumnos están acostumbrados a realizar despeje de ecuaciones diciendo que los números o las variables “pasan” de un miembro de la ecuación a otro, se debe hacer notar a los alumnos que los numero y variables no “pasan” porque si, la razón es que se suman, restan, multiplican o dividen los dos miembros de la ecuación ( en este caso de las desigualdades) y por ello en un miembro aparentemente “desaparecen” algunos términos. Para entender mejor esto, debemos aclara que “toda operación que se realiza en un miembro de la desigualdad, debe realizarse en el otro miembro también para no afectar el sentido de la desigualdad”. A continuacion se presenta un ejemplo:

v  Dentro de 10 años Andres (A) tendrá edad para votar en las elecciones. De este enunciado podemos deducir que:

A+10≥18

Despejando el valor de A tenemos que:

A+10-10≥18-10        observese que en ambos miembros de la desigualdad               se agrego el termino -10.

Entonces:   A≥8.      Este es el resultado, con lo cual podemos afirmar que Andres tiene 8 años o màs en este momento. Si tiene cuando menos 8 años, dentro de 10 tendra los 18 años necesarios para poder votar, asi mismo, esto se cumple para cualquier edad mayor a 8 años, por ejemplo si Andres tuviera en este momento 9, 10 u 8 años con 1 mes, etc.

 Un método conveniente para resolver las desigualdes es el siguiente:

v  Se agrupan términos semejantes.

v  Se eliminan las variables de un miembro de la desigualdad.

v  Se eliminan los numero que estén junto a la variable que quedo.

v  El obtiene el resultado de la desigualdad.

v  Si se requiere se elabora la grafica que represente la solución de la desigualdad.

A continuacion se presentan algunos ejemplos de resolución de desigualdades:

v    5x<10

Siguiendo el método anterior se agruparían los términos semejantes, al no existir estos, se procede al despeje de la variable “x”:

5x/5<10/5         esta división se realiza con el fin de eliminar el 5 que se encuentra junto a la variable x, de lo cual resulta:

x<2                      el sentido de la desigualdad se respeta puesto que la división que se realizo fue con un numero POSITIVO, entonces la grafica que representa la solución de la desigualdad es:

v    10b+2-1>b+4

Agrupando términos semejantes resulta:

10b+3>b+4

Se elimina la variable de un miembro de la desigualdad, para ello restaremos b en ambos miembros:

10b+3-b>b+4-b

9b+3>4

Se eliminan los números que se encuentran en un miembro de la desigualdad:

9b+3-3>4-3

9b>1

se divide ambos miembros de la desigualdad entre 9:

b>1/9

lo cual también se puede expresar como b>0.11 si truncamos en 2 decimales.

v    2f+10(2f-1)<40f+5

Agrupando términos semejantes:

2f+20f-10<40f+5

22f-10<40f+5

Se elimina la variable de un miembro:

22f-10-40f<40f+5-40f

-18f-10<5

Se eliminan las constantes que se encuentran en el miembro donde tenemos a la variable “f”:

-18f-10+10<5+10

-18f<15

Se divide entre un NEGATIVO, lo cual provocara un CAMBIO DE SENTIDO de la desigualdad:

-18f/-18<15/-18

f>-0.83      truncado a dos decimales.

Conclusión.

Lo mejor para entender los intervalos resultantes en las desigualdes, es realizar la comprobación correspondiente en cada una de ellas sustituyendo el valor de la variable por cualquier valor que se encuentre dentro del intervalo de solución, es muy importante que el alumno comprenda que el cambio del sentido de la desigualdad al dividir o multiplicar ambos miembros de la desigualdad por un numero negativo es NECESARIO para no ver afectada la solución.

EJERCICIOS.

INSTRUCCIONES: RESUELVA LAS SIGUIENTES DESIGUALDADES, UNA VEZ RESUELTAS DIBUJE EN UNA RECTA NUMERICA SU REPRESENTACION GRAFICA (INTERVALO) Y REALICE LA COMPROBACION.

1.       32+20X≥10X-5

2.       -15X+10≥5X+1

3.       20-3X≤-9X-50

4.       2(30+X)≥40-20X

5.       5(-3-2X)≤10(X+11)

6.       15(3X+6)≥11X+4

7.       -1.4-0.5X≥19X-100

8.       1/2X-3/5≤4/3X+9

9.       3(1/2X+2)≥-10(X+1)

10.   2(X+3X)-5≥-10(X+10)

11.   2+20X≥-20X-5

12.   -15+10X≥5X+2

13.   2-3X≤-9X-5

14.   3(30+X)≥4-20X

15.   7(-3-2X)≤11(X+12)

16.   16(4X+7)≥12X+5

17.   -1.4X-0.5X+10≥19X-100+2

18.   1/3X-4/5≤4/9X+19

19.   4(1/2X+12)≥-12(X+3)

20.   9(X+2X)-6≥-13(2X+14)

21.   22X+20+3X≥11X-25

22.   -5X+14≥5X+100

23.   200-3X≤-90X-500

24.   12(30+4X)≥40-20X+X

25.   50(-3-2X)≤20(X+11)

26.   12(3X+16)≥14X+4

27.   -1.9-2.5X≥39X-10

28.   1/2X-3/9≤4/6X+19

29.   3(1/4X+3)≥-11(X+1)

30.   12(X+3X)-5≥-5(X+10)

31.   2+2X≥X-5

32.   -115X+110≥15X+11

33.   120-3X≤-19X-150

34.   8(40+X)≥5-20X

35.   3(-3-12X)≤90(X+11)

36.   5(3X+16)≥11X+14

37.   -1.4-5X≥9X-100

38.   4/5X-2/5≤4/13X+49

39.   31(1/2X+12)≥-14(1X+1)

40.   22(1X+3X)-4≥-3(2X+10)

41.   12+35X≥20(X+5)

42.   15+10X≥5X-12

43.   22-3X≤-9X-35

44.   30+X≥4-20X

45.   3(3+2X)≤11(X+12)

46.   4(2X+7)≥12X+5

47.   -4X-5X+14≥13X-1+2

48.   13X-45≤9X+9

49.   4(X+12)≥-4(X+3)

50.   4(X+4X)-6≥-13(2X+14)

51.   2X+2+3X≥14X-25

52.   -5X+14≥5X+40

53.   200-43X≤-9X-500

54.   12(3+34X)≥30-20X+X

55.   8.2(-3-2X)≤20(X+1)

56.   1.2(3X+1.6)≥1.4X+4

57.   -13.9-2.5X≥3.9X-10

58.   X+9≤-6X+15

59.   3(4X+3)≥-6(X+1)

60.   92(3X+3X)-4≥-6(2X+10)