DESIGUALDADES.
El conocimiento de intervalos
es necesario para comprender las desigualdades debido a que la solución a una
desigualdad matemática es un intervalo para el cual se cumple que una condición
establecida. Las desigualdades son una relación de orden que se da entre dos o
mas valores cuando estos son distintos. En ellas utilizamos los signos mayor
que (>), menor que (<), mayor o igual que (≥) y el signo menor o igual
que (≤). A continuación presento un cuadro que ilustra algunos ejemplos de
desigualdad, en ellos podremos apreciar que las desigualdes cuentan con al
menos dos miembros (uno de cada lado del signo) y un signo que indica que un miembro es
diferente de otro (también llamado “sentido de la desigualdad”):
Algo importante de las
desigualdades es que tienen muchas posibles soluciones. Por ejemplo, “18≥que la
mayoría de edad en Mexico” es una declaración valida para que cualquier persona
que tenga al menos 18 años cumplidos sea considerada mayor de edad en este
país, es decir, si tengo 19, 54 o 99 años sere considerado una persona mayor de
edad dentro del territorio nacional.
Debe notarse también que la desigualdad x>y también
puede escribirse como y<x. los lados de cualquier desigualdad pueden cambiar
de lugar siempre y cuando el símbolo de la desigualdad también cambie.
Como se menciono de manera anterior, las desigualdades
pueden representarse en una recta numérica. A continuacion se muestran algunos
ejemplos de ello:
Al
igual que sucede con cualquier ecuación, existen propiedades para resolver
desigualdades, algunas de estas propiedades son las siguientes:
v Si se le suma o se le resta cualquier numero a
ambos miembros de la desigualdad, resultara otra con el mismo sentido.
Ejemplo:
Si
a>b, entonces a+c>b+c
Si la
edad de Victor es mayor que la edad de Cinthia, entonces es lógico que aunque
transcurran unos años mas, Victor seguirá siendo mayor que Cinthia.
Si
a<b, entonces a-c<b-c
Si la
edad de Cinthia es menor que la edad de Victor, entonces es lógico afirmar que
hace algún intervalo de tiempo, Cinthia era menor que Victor, es decir, las
edades cambian, pero Cinthia siempre será menor que Victor.
v Si se
multiplica o se divide ambos miembros de una desigualdad por un numero
positivo, resultara otra con el mismo sentido.
Ejemplo:
Si
a>b, entonces a.c>b.c
Si un
autobús pesa mas que un auto compacto, se cumplirá que aunque se duplique el
numero de autos compactos si también se duplica el numero de autobuses,
entonces los autobuses seguirán pesando màs.
Si
a<b, entonces a/c<b/c.
Si
10<20, entonces resulta que 10/2<20/2 debido a que el resultado será
5<10.
v SI se
multiplica o se divide ambos miembros de una desigualdad entre un numero
negativo, resultara otra con sentido inverso.
Ejemplo:
Si
a<b, entonces a/c<b/c siempre y cuando c<0.
Si
5<10, entonces 5(-2)>10(-2), debido a que el resultado será -10>-20
RESOLVIENDO DESIGUALDADES.
Las propiedades antes
vistas serán de utilidad a la hora de la resolución de las desigualdes,
empezemos. Algo importante de mencionar es que los alumnos están acostumbrados
a realizar despeje de ecuaciones diciendo que los números o las variables
“pasan” de un miembro de la ecuación a otro, se debe hacer notar a los alumnos
que los numero y variables no “pasan” porque si, la razón es que se suman,
restan, multiplican o dividen los dos miembros de la ecuación ( en este caso de
las desigualdades) y por ello en un miembro aparentemente “desaparecen” algunos
términos. Para entender mejor esto, debemos aclara que “toda operación que se
realiza en un miembro de la desigualdad, debe realizarse en el otro miembro también
para no afectar el sentido de la desigualdad”. A continuacion se presenta un
ejemplo:
v Dentro
de 10 años Andres (A) tendrá edad para votar en las elecciones. De este
enunciado podemos deducir que:
A+10≥18
Despejando
el valor de A tenemos que:
A+10-10≥18-10 observese que en ambos miembros de la
desigualdad se agrego el
termino -10.
Entonces: A≥8.
Este es el resultado, con lo cual podemos afirmar que Andres tiene 8
años o màs en este momento. Si tiene cuando menos 8 años, dentro de 10 tendra
los 18 años necesarios para poder votar, asi mismo, esto se cumple para
cualquier edad mayor a 8 años, por ejemplo si Andres tuviera en este momento 9,
10 u 8 años con 1 mes, etc.
Un método conveniente para resolver las
desigualdes es el siguiente:
v Se
agrupan términos semejantes.
v Se
eliminan las variables de un miembro de la desigualdad.
v Se
eliminan los numero que estén junto a la variable que quedo.
v El
obtiene el resultado de la desigualdad.
v Si se
requiere se elabora la grafica que represente la solución de la desigualdad.
A
continuacion se presentan algunos ejemplos de resolución de desigualdades:
v 5x<10
Siguiendo
el método anterior se agruparían los términos semejantes, al no existir estos,
se procede al despeje de la variable “x”:
5x/5<10/5 esta división se realiza con el fin de
eliminar el 5 que se encuentra junto a la variable x, de lo cual resulta:
x<2 el sentido de la desigualdad
se respeta puesto que la división que se realizo fue con un numero POSITIVO,
entonces la grafica que representa la solución de la desigualdad es:
v 10b+2-1>b+4
Agrupando
términos semejantes resulta:
10b+3>b+4
Se
elimina la variable de un miembro de la desigualdad, para ello restaremos b en
ambos miembros:
10b+3-b>b+4-b
9b+3>4
Se
eliminan los números que se encuentran en un miembro de la desigualdad:
9b+3-3>4-3
9b>1
se
divide ambos miembros de la desigualdad entre 9:
b>1/9
lo
cual también se puede expresar como b>0.11 si truncamos en 2 decimales.
v 2f+10(2f-1)<40f+5
Agrupando
términos semejantes:
2f+20f-10<40f+5
22f-10<40f+5
Se
elimina la variable de un miembro:
22f-10-40f<40f+5-40f
-18f-10<5
Se
eliminan las constantes que se encuentran en el miembro donde tenemos a la
variable “f”:
-18f-10+10<5+10
-18f<15
Se
divide entre un NEGATIVO, lo cual provocara un CAMBIO DE SENTIDO de la
desigualdad:
-18f/-18<15/-18
f>-0.83 truncado a dos decimales.
Conclusión.
Lo
mejor para entender los intervalos resultantes en las desigualdes, es realizar
la comprobación correspondiente en cada una de ellas sustituyendo el valor de
la variable por cualquier valor que se encuentre dentro del intervalo de
solución, es muy importante que el alumno comprenda que el cambio del sentido
de la desigualdad al dividir o multiplicar ambos miembros de la desigualdad por
un numero negativo es NECESARIO para no ver afectada la solución.
EJERCICIOS.
INSTRUCCIONES: RESUELVA LAS SIGUIENTES DESIGUALDADES, UNA
VEZ RESUELTAS DIBUJE EN UNA RECTA NUMERICA SU REPRESENTACION GRAFICA
(INTERVALO) Y REALICE LA COMPROBACION.
1.
32+20X≥10X-5
2.
-15X+10≥5X+1
3.
20-3X≤-9X-50
4.
2(30+X)≥40-20X
5.
5(-3-2X)≤10(X+11)
6.
15(3X+6)≥11X+4
7.
-1.4-0.5X≥19X-100
8.
1/2X-3/5≤4/3X+9
9.
3(1/2X+2)≥-10(X+1)
10.
2(X+3X)-5≥-10(X+10)
11.
2+20X≥-20X-5
12.
-15+10X≥5X+2
13.
2-3X≤-9X-5
14.
3(30+X)≥4-20X
15.
7(-3-2X)≤11(X+12)
16.
16(4X+7)≥12X+5
17.
-1.4X-0.5X+10≥19X-100+2
18.
1/3X-4/5≤4/9X+19
19.
4(1/2X+12)≥-12(X+3)
20.
9(X+2X)-6≥-13(2X+14)
21.
22X+20+3X≥11X-25
22.
-5X+14≥5X+100
23.
200-3X≤-90X-500
24.
12(30+4X)≥40-20X+X
25.
50(-3-2X)≤20(X+11)
26.
12(3X+16)≥14X+4
27.
-1.9-2.5X≥39X-10
28.
1/2X-3/9≤4/6X+19
29.
3(1/4X+3)≥-11(X+1)
30.
12(X+3X)-5≥-5(X+10)
31.
2+2X≥X-5
32.
-115X+110≥15X+11
33.
120-3X≤-19X-150
34.
8(40+X)≥5-20X
35.
3(-3-12X)≤90(X+11)
36.
5(3X+16)≥11X+14
37.
-1.4-5X≥9X-100
38.
4/5X-2/5≤4/13X+49
39.
31(1/2X+12)≥-14(1X+1)
40.
22(1X+3X)-4≥-3(2X+10)
41.
12+35X≥20(X+5)
42.
15+10X≥5X-12
43.
22-3X≤-9X-35
44.
30+X≥4-20X
45.
3(3+2X)≤11(X+12)
46.
4(2X+7)≥12X+5
47.
-4X-5X+14≥13X-1+2
48.
13X-45≤9X+9
49.
4(X+12)≥-4(X+3)
50.
4(X+4X)-6≥-13(2X+14)
51.
2X+2+3X≥14X-25
52.
-5X+14≥5X+40
53.
200-43X≤-9X-500
54.
12(3+34X)≥30-20X+X
55.
8.2(-3-2X)≤20(X+1)
56.
1.2(3X+1.6)≥1.4X+4
57.
-13.9-2.5X≥3.9X-10
58.
X+9≤-6X+15
59.
3(4X+3)≥-6(X+1)
60.
92(3X+3X)-4≥-6(2X+10)
