CONCEPTO DE FUNCION.
En matemáticas,
se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la
segunda. En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo
se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer
conjunto un único elemento de un segundo conjunto.
Reitero la clave: una cosa que depende de otra, es
decir hay “un algo independiente que condiciona “otro algo”
dependiente. En matemáticas le llamamos una variable independiente y una variable dependiente (es decir que depende de la otra). En el caso
de los cuatro ejemplos que cité antes, serían:
Si
has entendido este concepto entenderás muy bien este otro: la forma como
expresamos una función matemática es llamarle “x” a la variable independiente, e “y” a la variable dependiente
(o también f(x) que
se lee “f de x”,
x= variable independiente
y = f(x) =variable dependiente
RELACION Y FUNCION.
Una relación es un vínculo o una correspondencia. En el caso
de la relación matemática,
se trata de la correspondencia que
existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto
le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.
Cuando a cada
elemento de un conjunto le corresponde solo uno del otro, se habla de función. Esto
quiere decir que las funciones matemáticas siempre son, a su vez, relaciones
matemáticas, pero que las relaciones no siempre son funciones.
Se tienen cuatro maneras posibles para
representar una función o una relación:
- Verbalmente (con una descripción en
palabras).
- Numéricamente (con una tabla de
valores).
- Visualmente (con una gráfica).
- Algebraicamente (con una forma
explícita).
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION.
El dominio de
definición de una función f:X→Y se define como el conjunto
X de todos los elementos x para los cuales la función f asocia algún y perteneciente al
conjunto Y de llegada, llamado codominio.
En matemáticas,
el rango, codominio o contradominio (también denominado conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función es el conjunto Y que participa en esa función.
El dominio de una función está dado por el conjunto de valores
que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x; esta variable x puede tomar cualquier
valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por
todos los números Reales.
Como
los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los
valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la
función para un valor de x, su
resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función:
Para
buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores de x la función produce como resultado un
número Real. Se observa, para el ejemplo que al asignarle a x un número negativo, la expresión se
nos presenta como una raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es
posible; no es posible hallar dentro de los Reales un número que satisfaga la expresión; por lo tanto el
dominio de la función está constituido por todos los números mayores o iguales
que cero; expresado como:
D=todos los números mayores
a cero.
En
general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para obtener el dominio
de una función o de una expresión algebraica:
§ No puede haber una raíz cuadrada ( ó cualquier
raíz par ) negativa, pues se trataría de un número imaginario que no hace parte
de los Reales.
§ Un fraccionario no puede contener por
denominador cero, pues la expresión queda indeterminada.
El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar
una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y).
También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.
Por
ejemplo:
Si
x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo
con cualquier número, positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que el rango está conformado por el cero y todos los números positivos.
Al
graficar la función se obtiene:
Para
obtener el rango desde el punto
de vista gráfico, debemos poner nuestra atención en el eje y. Se puede ver que el rango está dado
por valores mayores o iguales que cero,
pues la parábola que lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y lo explicado anteriormente el rango es:
R=todos los números mayores a cero.
EJERCICIOS:
INVESTIGUE
3 DEFINICIONES DE CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CONCEPTOS: FUNCION MATEMATICA,
DOMINIO, RANGO Y SOLUCION DE UNA FUNCION.
1. Observa el siguiente conjunto de
pares ordenados (1,2); (1,3); (1,4); (1,5).
¿Es función o
relación?_________________________________________
¿Por qué?____________________________________________________
¿Cuál es su
dominio?_____________________________________________
¿Cuál es su
rango?_____________________________________________
¿Qué tipo de representación
tiene?_________________________________
2. Dada la siguiente gráfica,
conteste:
¿Es función o
relación?___________________________________________
¿Por
qué?______________________________________________________
¿Cuál es su
dominio?______________________________________________
¿Cuál es su
rango?_______________________________________________
¿Qué tipo de representación
tiene?____________________________________
3. Toma en cuenta la siguiente tabla y
contesta.
¿Es función o
relación?_______________________
¿Por
qué?_________________________________
¿Cuál es su dominio?_________________________
¿Cuál es su
rango?___________________________
¿Qué tipo de representación
tiene?________________
4.- De acuerdo con la siguiente
expresión algebraica, contesta: y=3x+2
¿Es función o
relación?________________________
¿Por qué?__________________________________
¿Cuál es su
dominio?__________________________
¿Cuál es su
rango?____________________________
¿Qué tipo de representación
tiene?______________
