FUNCION CUADRATICA

INTRODUCCION
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

f(x) = ax² + bx + c 

En matemáticas, una función cuadrática de una variable es una función polinómica definida por:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$

con ${\displaystyle a\neq 0}$ ya que si a fuera igual a cero, entonces no existiría un termino cuadrático y se convertiría en una función lineal.

 A la representación anterior se le llama forma desarrollada o polinómica.

El trazado de parábola de la función cuadrática está determinada por un vértice,  por el cual se traza el eje de simetría, los puntos de corte en el eje x y el punto de corte en el eje y. Al trazado de la parábola se le denomina ramas de la parábola.

Si graficamos una parábola de una función cuadrática, podemos ver:

Cuando queremos graficar una parábola, lo ideal es empezar por el vértice, el cual se obtiene con la formula siguiente:
Xvertice= -b/2a
con ello encontraremos el valor del eje X para el vértice, para encontrar el valor de Y tendremos que sustituir el valor encontrado en la función, ejemplo:

-grafique la parábola f(x)=2x^2+3x+4

una vez obtenido el valor del vértice, elegimos cuantos valores mayores y menores que el vértice se nos ocurra y procedemos a tabular y grafica, ejemplo:

Si la parábola abre hacia arriba, se dice que tiene concavidad positiva; si abre hacia abajo tendrá concavidad negativa.


RAICES DE LA FUNCION CUADRATICA

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\ }$. Son denotadas habitualmente como: ${\displaystyle x_{1}}$ y ${\displaystyle x_{2}}$, dependiendo del valor del discriminante Δ definido como ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\ }$.

• Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo, ${\displaystyle \Delta >0}$:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$

• Corta la parábola al eje X en dos puntos diferentes.

• Una solución real(o solución doble) si el discriminante es cero, ${\displaystyle \Delta =0}$:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}}$

• La parábola es tangente al eje X.

• La parábola no corta al eje X.

• El único caso restante es que el discriminante sea negativo, ${\displaystyle \Delta <0}$.

En tal caso, las raíces no son reales, sino que son dos números complejos conjugados.

EJEMPLO DE SOLUCION POR FORMULA GENERAL:

NOTA:
A LA COORDENADA DEL VERTICE DE UNA FUNCION QUE TIENE CONCAVIDAD POSITIVA, SE LE LLAMA MINIMO; SI POR EL CONTRARIO, TIENE CONCAVIDAD NEGATIVA SE LE CONOCE COMO MAXIMO.
EL DOMINIO DE TODA FUNCION NEGATIVA SIEMPRE ES DE MENOS INFINITO A INFINITO. SU RANGO SERA EL QUE VA DE SU MINIMO HASTA EL INFINITO O DE SU MAXIMO HASTA MENOS INFINITO.

EJERCICIOS:

-En las siguientes funciones, determine cual es su vértice, indique si este representa un mínimo o un máximo, tabule y grafique al menos 5 valores menores al vértice y 5 valores mayores, escriba si la función tiene concavidad positiva o negativa y encuentre sus raíces o soluciones:

a) f(x)= x^2+x+1

b) f(x)= -x^2-x-1

c) f(x)= 10x^2+x+1

d) f(x)= -50x^2+x+1

e) f(x)= x^2+x+100

f) f(x)= x^2+x-100

g) f(x)= x^2+500x+1

h) f(x)= x^2-500x+1

i) f(x)= -5x^2-2x-6

j) f(x)=x^2

k) f(x)= x^2-10

-RESPONDA LO SIGUIENTE (recuerde que la función cuadrática tiene 3 términos: a,b,c):

1.- ¿PARA QUE SIRVE O QUE INDICA EL TERMINO a DE UNA FUNCION CUADRATICA? (OBSERVE LAS GRAFICAS QUE REALIZO DONDE EL TERMINO a SEA DIFERENTE)

2.- ¿PARA QUE SIRVE O QUE INDICA EL TERMINO b DE UNA FUNCION CUADRATICA?

3.- ¿QUE INDICA O PARA QUE SIRVE EL TERMINO c DE UNA FUNCION CUADRATICA?

-INVESTIGUE Y ANOTE 5 EJEMPLOS (RESUELTOS Y EXPLICADOS PASO A PASO) DE PROBLEMAS QUE PODRIAN PRESENTARSE EN LA VIDA DIARIA QUE PUEDAN SER RESUELTOS UTILIZANDO LA FUNCION CUADRATICA.