Para encontrar la ecuación de una línea o función lineal, son necesarias
dos cosas: a) un punto en la línea; y b) la pendiente de la línea. Pero lo que
haces para adquirir estos dos datos y lo que haces con ellos después puede
variar dependiendo de la situación. Por simplicidad, este artículo se enfocará
en la ecuación pendiente-ordenada “y = mx + b” en lugar de la forma
punto-pendiente
(y - y1) = m(x - x1).
(y - y1) = m(x - x1).
Conoce
lo que vas a buscar.
Antes de que puedas encontrar la ecuación, asegúrate de tener una idea clara de
lo que estás buscando. Presta atención
a estas palabras:
·
Los puntos se
identifican con pares ordenados
tales como (-7, -8) o (-2, -6).
El primer número en un par ordenado es la coordenada x. Controla la posición
horizontal del punto (que tan hacia la derecha o hacia la izquierda del origen
se encuentra).
El Segundo número en un par ordenado es la coordenada y. Controla la posición
vertical del punto (qué tan arriba o abajo del origen se encuentra).
Identifica el tipo
de problema.
·
Dados un punto y una pendiente.
·
Dados dos puntos pero ninguna pendiente.
METODO 1: DADO UN PUNTO Y UNA PENDIENTE
Calcula la ordenada en el origen de tu ecuación.
La ordenada (o la variable b en
nuestra ecuación) es el punto en el cual la línea cruza con el eje y. Puedes
calcular la ordenada reordenando la ecuación para resolver para b. Nuestra nueva ecuación se verá así:
b = y - mx.
· Sustituye
por tu pendiente y tus coordenadas dentro de la ecuación.
· Multiplica
la pendiente (m) por la
coordenada x del punto.
· Réstale
esa cantidad a la coordenada y del punto.
·
Has resuelto
para b, o la ordenada en el
origen.
Escribe la
fórmula: y=____x + ____, incluyendo los espacios
Llena el
primer espacio, antes de la x, con la pendiente.
Llena el
segundo espacio con la ordenada en el origen que ya calculaste.
EJEMPLO:
Dados el punto (6, -5) y la pendiente 2/3, ¿cuál es
la ecuación de la línea?
Escribe la ecuación: y = 2/3 x - 9
1.
Calcula la pendiente entre dos puntos.
Podemos pensar en la pendiente como la descripción de qué tan alto escala o cae
una línea por cada cantidad que viaja hacia la izquierda o hacia la derecha. La
ecuación de la pendiente es: (Y2 - Y1) / (X2 -
X1)
·
Toma tus dos
puntos e insértalos en la ecuación. (Dos coordenadas significan dos valores y y dos valores x). No importa qué coordenada pongas
primero, siempre y cuando seas consistente. Algunos ejemplos:
- Puntos (3, 8) y (7, 12). (Y2 - Y1) / (X2 - X1) = 12 - 8 / 7 - 3 = 4/4, o 1.
- Puntos (5, 5) y (9, 2). (Y2 - Y1) / (X2 - X1) = 2 - 5 / 9 - 5 = -3/4.
Escoge un conjunto de coordenadas
para el resto del problema. Separa el otro conjunto o cúbrelo para que
no lo vayas a utilizar por accidente.
Calcula la ordenada de tu ecuación.
Una vez más, reordena la fórmula y = mx + b para que quede como b = y – mx.
Sigue siendo la misma ecuación; solo la has reordenado.
· Sustituye
tu pendiente y coordenadas en la ecuación anterior.
· Multiplica
la pendiente (m) por la
coordenada x del punto.
· Resta
esa cantidad A la coordenada y del punto.
·
Has resuelto
para b, o la ordenada en el
origen.
Escribe la
fórmula: y=____x + ____, incluyendo los espacios
Llena el
primer espacio, antes de la x, con la pendiente.
Llena el
segundo espacio con la ordenada en el origen que ya calculaste.
EJEMPLO
Dados los puntos (6, -5) y (8, -12), ¿cuál es la
ecuación de la línea?
·
Resuelve para la pendiente. Pendiente = (Y2
- Y1) / (X2 - X1)
La pendiente es -7/2. (Del primer punto al Segundo, bajamos 7 y viajamos 2 a la
derecha, así que la pendiente es -7 sobre 2.)
- Reordena tu ecuación. b = y - mx.
- Sustituye y resuelve.
- b = -12 - (-7/2)8.
- b = -12 - (-28).
- b = -12 + 28.
- b = 16
Nota: Como utilizamos el 8 para
nuestras coordenadas, debemos utilizar el -12. Si utilizas el 6 para tus
coordenadas debes utilizar el -5.
- Verifica que tu ordenada sea 16.
- Anota la ecuación: y = -7/2 x + 16
EJERCICIOS:
-En cada ejercicio siguiente, encuentra la ecuación de la recta, grafica al menos 5 valores de dicha recta, escribe su corte en eje Y y en el eje X asi como si su pendiente es positiva o negativa.
a) (2,1) (6,10)
b) (-8,1) (-10,-5)
c) (-10,-20) (-4,-9)
d) (0,1) (100,-56)
e) m=3 (2,19)
f) m=-10 (-3,-8)
g) m=1/2 (3,-9)
f) m=19 (-1,-3)
- Si una pulsera de plata que se compro hace 10 años costo $1500 y se pronostica que por el alza del precio de la plata dentro de un año costara $3450; pronostique su valor para dentro de 10, 15 y 50 años suponiendo que el alza de la plata sigue un patrón lineal.
-Una pc comprada hace un año costo $49350 y el día de hoy cuesta $45300. Pronostique su valor para los 5 años siguientes. Elabore una grafica que muestre su valor a través de los años.
-Un terreno cuesta hoy $350 000 y se calcula que dentro de 10 años costara el doble. si el valor del terreno aumenta de manera lineal, pronostique su valor para dentro de 11, 18 y 23 años.
