DESIGUALDADES

DESIGUALDADES.

El conocimiento de intervalos es necesario para comprender las desigualdades debido a que la solución a una desigualdad matemática es un intervalo para el cual se cumple que una condición establecida. Las desigualdades son una relación de orden que se da entre dos o mas valores cuando estos son distintos. En ellas utilizamos los signos mayor que (>), menor que (<), mayor o igual que (≥) y el signo menor o igual que (≤). A continuación presento un cuadro que ilustra algunos ejemplos de desigualdad, en ellos podremos apreciar que las desigualdes cuentan con al menos dos miembros (uno de cada lado del signo) y  un signo que indica que un miembro es diferente de otro (también llamado “sentido de la desigualdad”):

Algo importante de las desigualdades es que tienen muchas posibles soluciones. Por ejemplo, “18≥que la mayoría de edad en Mexico” es una declaración valida para que cualquier persona que tenga al menos 18 años cumplidos sea considerada mayor de edad en este país, es decir, si tengo 19, 54 o 99 años sere considerado una persona mayor de edad dentro del territorio nacional.

          Debe notarse también que la desigualdad x>y también puede escribirse como y<x. los lados de cualquier desigualdad pueden cambiar de lugar siempre y cuando el símbolo de la desigualdad también cambie.

          Como se menciono de manera anterior, las desigualdades pueden representarse en una recta numérica. A continuacion se muestran algunos ejemplos de ello:

Al igual que sucede con cualquier ecuación, existen propiedades para resolver desigualdades, algunas de estas propiedades son las siguientes:

v  Si  se le suma o se le resta cualquier numero a ambos miembros de la desigualdad, resultara otra con el mismo sentido.

Ejemplo:

Si a>b, entonces a+c>b+c

Si la edad de Victor es mayor que la edad de Cinthia, entonces es lógico que aunque transcurran unos años mas, Victor seguirá siendo mayor que Cinthia.

Si a<b, entonces a-c<b-c

Si la edad de Cinthia es menor que la edad de Victor, entonces es lógico afirmar que hace algún intervalo de tiempo, Cinthia era menor que Victor, es decir, las edades cambian, pero Cinthia siempre será menor que Victor.

v  Si se multiplica o se divide ambos miembros de una desigualdad por un numero positivo, resultara otra con el mismo sentido.

Ejemplo:

Si a>b, entonces a.c>b.c

Si un autobús pesa mas que un auto compacto, se cumplirá que aunque se duplique el numero de autos compactos si también se duplica el numero de autobuses, entonces los autobuses seguirán pesando màs.

Si a<b, entonces a/c<b/c.

Si 10<20, entonces resulta que 10/2<20/2 debido a que el resultado será 5<10.

v  SI se multiplica o se divide ambos miembros de una desigualdad entre un numero negativo, resultara otra con sentido inverso.

Ejemplo:

Si a<b, entonces a/c<b/c siempre y cuando c<0.

Si 5<10, entonces 5(-2)>10(-2), debido a que el resultado será -10>-20

RESOLVIENDO DESIGUALDADES.

          Las propiedades antes vistas serán de utilidad a la hora de la resolución de las desigualdes, empezemos. Algo importante de mencionar es que los alumnos están acostumbrados a realizar despeje de ecuaciones diciendo que los números o las variables “pasan” de un miembro de la ecuación a otro, se debe hacer notar a los alumnos que los numero y variables no “pasan” porque si, la razón es que se suman, restan, multiplican o dividen los dos miembros de la ecuación ( en este caso de las desigualdades) y por ello en un miembro aparentemente “desaparecen” algunos términos. Para entender mejor esto, debemos aclara que “toda operación que se realiza en un miembro de la desigualdad, debe realizarse en el otro miembro también para no afectar el sentido de la desigualdad”. A continuacion se presenta un ejemplo:

v  Dentro de 10 años Andres (A) tendrá edad para votar en las elecciones. De este enunciado podemos deducir que:

A+10≥18

Despejando el valor de A tenemos que:

A+10-10≥18-10        observese que en ambos miembros de la desigualdad               se agrego el termino -10.

Entonces:   A≥8.      Este es el resultado, con lo cual podemos afirmar que Andres tiene 8 años o màs en este momento. Si tiene cuando menos 8 años, dentro de 10 tendra los 18 años necesarios para poder votar, asi mismo, esto se cumple para cualquier edad mayor a 8 años, por ejemplo si Andres tuviera en este momento 9, 10 u 8 años con 1 mes, etc.

 Un método conveniente para resolver las desigualdes es el siguiente:

v  Se agrupan términos semejantes.

v  Se eliminan las variables de un miembro de la desigualdad.

v  Se eliminan los numero que estén junto a la variable que quedo.

v  El obtiene el resultado de la desigualdad.

v  Si se requiere se elabora la grafica que represente la solución de la desigualdad.

A continuacion se presentan algunos ejemplos de resolución de desigualdades:

v    5x<10

Siguiendo el método anterior se agruparían los términos semejantes, al no existir estos, se procede al despeje de la variable “x”:

5x/5<10/5         esta división se realiza con el fin de eliminar el 5 que se encuentra junto a la variable x, de lo cual resulta:

x<2                      el sentido de la desigualdad se respeta puesto que la división que se realizo fue con un numero POSITIVO, entonces la grafica que representa la solución de la desigualdad es:

v    10b+2-1>b+4

Agrupando términos semejantes resulta:

10b+3>b+4

Se elimina la variable de un miembro de la desigualdad, para ello restaremos b en ambos miembros:

10b+3-b>b+4-b

9b+3>4

Se eliminan los números que se encuentran en un miembro de la desigualdad:

9b+3-3>4-3

9b>1

se divide ambos miembros de la desigualdad entre 9:

b>1/9

lo cual también se puede expresar como b>0.11 si truncamos en 2 decimales.

v    2f+10(2f-1)<40f+5

Agrupando términos semejantes:

2f+20f-10<40f+5

22f-10<40f+5

Se elimina la variable de un miembro:

22f-10-40f<40f+5-40f

-18f-10<5

Se eliminan las constantes que se encuentran en el miembro donde tenemos a la variable “f”:

-18f-10+10<5+10

-18f<15

Se divide entre un NEGATIVO, lo cual provocara un CAMBIO DE SENTIDO de la desigualdad:

-18f/-18<15/-18

f>-0.83      truncado a dos decimales.

Conclusión.

Lo mejor para entender los intervalos resultantes en las desigualdes, es realizar la comprobación correspondiente en cada una de ellas sustituyendo el valor de la variable por cualquier valor que se encuentre dentro del intervalo de solución, es muy importante que el alumno comprenda que el cambio del sentido de la desigualdad al dividir o multiplicar ambos miembros de la desigualdad por un numero negativo es NECESARIO para no ver afectada la solución.

EJERCICIOS.

INSTRUCCIONES: RESUELVA LAS SIGUIENTES DESIGUALDADES, UNA VEZ RESUELTAS DIBUJE EN UNA RECTA NUMERICA SU REPRESENTACION GRAFICA (INTERVALO) Y REALICE LA COMPROBACION.

1.       32+20X≥10X-5

2.       -15X+10≥5X+1

3.       20-3X≤-9X-50

4.       2(30+X)≥40-20X

5.       5(-3-2X)≤10(X+11)

6.       15(3X+6)≥11X+4

7.       -1.4-0.5X≥19X-100

8.       1/2X-3/5≤4/3X+9

9.       3(1/2X+2)≥-10(X+1)

10.   2(X+3X)-5≥-10(X+10)

11.   2+20X≥-20X-5

12.   -15+10X≥5X+2

13.   2-3X≤-9X-5

14.   3(30+X)≥4-20X

15.   7(-3-2X)≤11(X+12)

16.   16(4X+7)≥12X+5

17.   -1.4X-0.5X+10≥19X-100+2

18.   1/3X-4/5≤4/9X+19

19.   4(1/2X+12)≥-12(X+3)

20.   9(X+2X)-6≥-13(2X+14)

21.   22X+20+3X≥11X-25

22.   -5X+14≥5X+100

23.   200-3X≤-90X-500

24.   12(30+4X)≥40-20X+X

25.   50(-3-2X)≤20(X+11)

26.   12(3X+16)≥14X+4

27.   -1.9-2.5X≥39X-10

28.   1/2X-3/9≤4/6X+19

29.   3(1/4X+3)≥-11(X+1)

30.   12(X+3X)-5≥-5(X+10)

31.   2+2X≥X-5

32.   -115X+110≥15X+11

33.   120-3X≤-19X-150

34.   8(40+X)≥5-20X

35.   3(-3-12X)≤90(X+11)

36.   5(3X+16)≥11X+14

37.   -1.4-5X≥9X-100

38.   4/5X-2/5≤4/13X+49

39.   31(1/2X+12)≥-14(1X+1)

40.   22(1X+3X)-4≥-3(2X+10)

41.   12+35X≥20(X+5)

42.   15+10X≥5X-12

43.   22-3X≤-9X-35

44.   30+X≥4-20X

45.   3(3+2X)≤11(X+12)

46.   4(2X+7)≥12X+5

47.   -4X-5X+14≥13X-1+2

48.   13X-45≤9X+9

49.   4(X+12)≥-4(X+3)

50.   4(X+4X)-6≥-13(2X+14)

51.   2X+2+3X≥14X-25

52.   -5X+14≥5X+40

53.   200-43X≤-9X-500

54.   12(3+34X)≥30-20X+X

55.   8.2(-3-2X)≤20(X+1)

56.   1.2(3X+1.6)≥1.4X+4

57.   -13.9-2.5X≥3.9X-10

58.   X+9≤-6X+15

59.   3(4X+3)≥-6(X+1)

60.   92(3X+3X)-4≥-6(2X+10)

BLOQUE 2. INTERVALOS

INTERVALOS

El término intervalo procede del latín inter-vallum que quiere decir pausa o espacio. Se catalogan como un subconjunto de los números reales, los cuales pueden ser representando de forma gráfica en una recta numérica a través de una semirecta o de un trazo.

Un intervalo es una serie de números reales que están comprendidos entre dos conjuntos dados: el a y el b, los cuales se conocen como extremos del intervalo. En pocas palabras es un subconjunto de la recta real que integra un conjunto de números reales .Los intervalos son representados por medio de una circunferencia vacía o rellena en el extremo.

TIPOS DE INTERVALOS

Intervalo abierto.

Se trata del intervalo donde sus extremos no forman parte del conjunto que está representando. En este intervalo se representan todos los números reales que son menores de b y mayores de a. En estos los valores se separan por una coma y entre paréntesis. Ejemplo: (a, b)

Intervalo cerrado.

A diferencia del anterior, en este tipo de intervalo sus extremos siempre forman parte del conjunto al cual representa.

Este intervalo comprende dentro de su extremos a y b, todos los números reales que son iguales o mayores que a, y los iguales o menores que b. Los valores se representan entre corchetes y separados por una coma.

Intervalo semiabierto.

También se puede conocer como intervalo semicerrado. Se distingue porque uno de sus lados permanece cerrado mientras que el otro esta abierto, los mismos pueden ser el izquierdo o el derecho.

Los intervalos semiabiertos por la izquierda. Suelen comprender los números reales iguales o menores que b, y los que son mayores que a. Se representa con la combinación de un corchete cerrado con un paréntesis abierto.

Los intervalos semiabierto por la derecha.

Contienen dentro de sus segmentos números reales menores que b e iguales o mayores que a. Los intervalos se incluyen entre un paréntesis abierto y un corchete cerrado

INTERVALOS INFINITOS.

El intervalo infinito se trata de los intervalos que corresponden a la recta real y a la semirecta. En este no se conoce el límite derecho, únicamente visualizándose el límite izquierdo. Los valores en este tipo de intervalos son representados por paréntesis.

NOTA: Los intervalos infinitos también se pueden mezclar con los abiertos ó los cerrados, es decir; puede ser infinito hacia la izquierda o derecha y ser abierto o cerrado por el otro extremo.

EJERCICIOS:

- PARA CADA UNO DE LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS, DIBUJE EL INTERVALO EN UNA RECTA NUMERICA (PARA CADA UNO DE ELLOS) Y SU REPRESENTACION YA SEA CON CORCHETES, PARENTESIS O LO QUE CORRESPONDA.

* TODOS LOS NUMEROS COMPRENDIDOS ENTRE 9 Y 12.

* TODOS LOS NUMEROS MAYORES QUE -3 Y MENORES O IGUALES A 4

* TODOS LOS NUMEROS MAYORES A 1

* TODOS LOS NUMEROS MENORES O IGUALES A 20

* TODOS LOS POSITIVOS

* TODOS LOS NEGATIVOS

* TODOS LOS NUMEROS REALES

* LOS NUMEROS MAYORES O IGUALES A 20 Y MENORES O IGUALES A 30

* TODOS LOS MENORES A -5

* LOS NUMEROS MAYORES A -2

* LOS MENORES A CERO.

* LOS MAYORES A CERO

* LOS NUMEROS ENTRE 1 Y 2

-PARA CADA UNO DE LAS SIGUIENTES REPRESENTACIONES, ESCRIBA QUE NUMEROS ABARCA.

- (2,10)

- (-2,0)
- [-10, 11]
- [1,10)
- [0,20)
- (5,11]
- (-20,33)
- (-5,5]
- [2,9]
- [10,20)

FUNCION CUBICA

FUNCION CUBICA

La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma:

 ; donde el coeficiente a es distinto de 0.

Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales.

La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuártica.

PROPIEDADES.

• El dominio de la función es la recta real es decir (-α : α)
• El recorrido de la función es decir la imagen es la recta real.
• La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).
• La función es continua en todo su dominio.
• La función es siempre creciente.  
• La función tiene un punto de corte con el eje Y.
• La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el eje X.

PUNTO DE INFLEXION.

    Se le llama punto de inflexión a la coordenada de la grafica de la función cúbica donde la grafica es simétrica hacia ambos lados. Para encontrar el punto de inflexión se debe obtener la segunda derivada de la función, igualar a cero y despejar el valor de x; así obtendremos la coordenada en "x", para obtener la coordenada en "y" se sustituye el valor obtenido en la función original (la función cúbica). 

MAXIMO Y MINIMO LOCAL

    Se le conoce como Máximo Local a la coordenada que se encuentra en la parte más "alta" (mas hacia el eje "y" positivo) en una de las curvas de la función cúbica. El mínimo local es el caso contrario al máximo local, ya que es la coordenada más hacia el eje "y" negativo en una de las curvas de la función cúbica. La forma de obtener el Máximo y Mínimo local es obtener la primer derivada de la función cúbica (con lo cual se obtiene una función cuadrática), una vez hecho esto se obtienen dos valores(uno para el máximo y otra para el mínimo) por medio de la Fórmula General, el último paso es sustituir ambos valores en la función original (la cúbica) para obtener los valores para el eje "y". Una vez realizado esto, tendremos dos coordenadas, la coordenada mas hacia el eje "y" positivo será la que le corresponde al máximo y la otra será el mínimo.

EJEMPLO

-OBTENER EL PUNTO DE INFLEXION Y LAS COORDENADAS DEL MAXIMO Y MINIMO DE LA FUNCION F(X)=2X^3+3X^2-2X-2.

NOTA: A MANERA DE RECOMENDACION SE SUGIERE QUE PARA DIBUJAR UNA FUNCION CUBICA, PRIMERO SE OBTENGA SU PUNTO DE INFLEXION ASI COMO MAXIMO Y MINIMO, UNA VEZ HECHO ESTO, LO IDEAL ES GRAFICAR EL PUNTO DE INFLEXION, UN VALOR MAS PEQUEÑO QUE EL MINIMO, EL MINIMO, UN VALOR MAYOR AL MINIMO, UN VALOR MENOR AL MAXIMO, EL MAXIMO Y UN VALOR MAYOR AL MAXIMO, ES DECIR, GRAFICAR CUANDO MENOS 7 VALORES PAR QUE SE PUEDA APRECIAR MUY BIEN LA FORMA QUE TOMA LA GRAFICA.

EJERCICIOS:

- EN CADA UNO DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES, DETERMINE SU PUNTO DE INFLEXION, MAXIMO Y MINIMO LOCALES, TABLA DE VALORES Y SU GRAFICA CON AL MENOS 7 VALORES PARA EL EJE X PARA CADA UNA DE ELLAS.

1.- F(X)=4X^3+2X^2-2X-2

2.- F(X)=6X^3+3X^2-5X-4

3.- F(X)=8X^3+3X^2-4X-12

4.- F(X)=-2X^3+3X^2-2X-2

5.- F(X)=-3X^3+3X^2-3X-3

6.- F(X)=6X^3+4X^2-2X-10

7.- F(X)=20X^3+3X^2-4X-2

8.- F(X)=-X^3-3X^2-2X-2

9.- F(X)=-2X^3-3X^2-4X-2

10.- F(X)=X^3+X^2-X

11.- F(X)=X^3

12.- F(X)=X^3+X^2

13.- F(X)=X^3+X^2-X-1

- INVESTIGUE PARA QUE SIRVE EL TERMINO a,b,c Y d DE LA FUNCION CUBICA.

- INVESTIGUE Y ESCRIBA DE FORMA EXPLICITA, PASO A PASO, ANOTANDO CADA OPERACION, 3 EJEMPLOS RESUELTOS DE COMO OBTENER LAS RAICES DE UNA FUNCION CUBICA

FUNCION CUADRATICA

INTRODUCCION
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

f(x) = ax² + bx + c 

En matemáticas, una función cuadrática de una variable es una función polinómica definida por:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$

con ${\displaystyle a\neq 0}$ ya que si a fuera igual a cero, entonces no existiría un termino cuadrático y se convertiría en una función lineal.

 A la representación anterior se le llama forma desarrollada o polinómica.

El trazado de parábola de la función cuadrática está determinada por un vértice,  por el cual se traza el eje de simetría, los puntos de corte en el eje x y el punto de corte en el eje y. Al trazado de la parábola se le denomina ramas de la parábola.

Si graficamos una parábola de una función cuadrática, podemos ver:

Cuando queremos graficar una parábola, lo ideal es empezar por el vértice, el cual se obtiene con la formula siguiente:
Xvertice= -b/2a
con ello encontraremos el valor del eje X para el vértice, para encontrar el valor de Y tendremos que sustituir el valor encontrado en la función, ejemplo:

-grafique la parábola f(x)=2x^2+3x+4

una vez obtenido el valor del vértice, elegimos cuantos valores mayores y menores que el vértice se nos ocurra y procedemos a tabular y grafica, ejemplo:

Si la parábola abre hacia arriba, se dice que tiene concavidad positiva; si abre hacia abajo tendrá concavidad negativa.


RAICES DE LA FUNCION CUADRATICA

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\ }$. Son denotadas habitualmente como: ${\displaystyle x_{1}}$ y ${\displaystyle x_{2}}$, dependiendo del valor del discriminante Δ definido como ${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\ }$.

• Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo, ${\displaystyle \Delta >0}$:

${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}$

• Corta la parábola al eje X en dos puntos diferentes.

• Una solución real(o solución doble) si el discriminante es cero, ${\displaystyle \Delta =0}$:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}}$

• La parábola es tangente al eje X.

• La parábola no corta al eje X.

• El único caso restante es que el discriminante sea negativo, ${\displaystyle \Delta <0}$.

En tal caso, las raíces no son reales, sino que son dos números complejos conjugados.

EJEMPLO DE SOLUCION POR FORMULA GENERAL:

NOTA:
A LA COORDENADA DEL VERTICE DE UNA FUNCION QUE TIENE CONCAVIDAD POSITIVA, SE LE LLAMA MINIMO; SI POR EL CONTRARIO, TIENE CONCAVIDAD NEGATIVA SE LE CONOCE COMO MAXIMO.
EL DOMINIO DE TODA FUNCION NEGATIVA SIEMPRE ES DE MENOS INFINITO A INFINITO. SU RANGO SERA EL QUE VA DE SU MINIMO HASTA EL INFINITO O DE SU MAXIMO HASTA MENOS INFINITO.

EJERCICIOS:

-En las siguientes funciones, determine cual es su vértice, indique si este representa un mínimo o un máximo, tabule y grafique al menos 5 valores menores al vértice y 5 valores mayores, escriba si la función tiene concavidad positiva o negativa y encuentre sus raíces o soluciones:

a) f(x)= x^2+x+1

b) f(x)= -x^2-x-1

c) f(x)= 10x^2+x+1

d) f(x)= -50x^2+x+1

e) f(x)= x^2+x+100

f) f(x)= x^2+x-100

g) f(x)= x^2+500x+1

h) f(x)= x^2-500x+1

i) f(x)= -5x^2-2x-6

j) f(x)=x^2

k) f(x)= x^2-10

-RESPONDA LO SIGUIENTE (recuerde que la función cuadrática tiene 3 términos: a,b,c):

1.- ¿PARA QUE SIRVE O QUE INDICA EL TERMINO a DE UNA FUNCION CUADRATICA? (OBSERVE LAS GRAFICAS QUE REALIZO DONDE EL TERMINO a SEA DIFERENTE)

2.- ¿PARA QUE SIRVE O QUE INDICA EL TERMINO b DE UNA FUNCION CUADRATICA?

3.- ¿QUE INDICA O PARA QUE SIRVE EL TERMINO c DE UNA FUNCION CUADRATICA?

-INVESTIGUE Y ANOTE 5 EJEMPLOS (RESUELTOS Y EXPLICADOS PASO A PASO) DE PROBLEMAS QUE PODRIAN PRESENTARSE EN LA VIDA DIARIA QUE PUEDAN SER RESUELTOS UTILIZANDO LA FUNCION CUADRATICA.